1、普通方式

已知矩形框左上(x1,y1)、右下(x2,y2）点，直线方程 y = kx+b，求交点。

这个问题转换为：计算直线与矩形框的四条线段的交点，因此最多执行4次。
首先计算直线与线段所在直线交点，若交点的在线段坐标的范围内，那么认为是有交点。

1.1、普通计算过程

这里不考虑直线平行的常规情况，如下
$$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}$$
计算得到横坐标
$$x=\frac{b_2{c}_1-b_1{c}_2}{b_2{a}_1-b_1{a}_2}$$

当其位于某一条线段的横坐标坐标取值范围 $x\in [x_1,x_2]$ 时，认为存在交点
$$\{\begin{array}{c}x=\frac{b_2{c}_1-b_1{c}_2}{b_2{a}_1-b_1{a}_2}\\ y=\frac{-a_{2}x-c_2}{b_2}\end{array}$$

1.2、优化方式

我们分两种情况。直线垂直和水平，以及普通情况。

• （1）垂直和水平情况
  
  这种方式简单，当垂直时直线 $x=m$，若 $m\in [x_1,x_2]$，那么交点为 $(m,y_1)$、 $(m,y_2)$；同理，当水平式直线 $y=n$，若 $n\in [y_1,y_2]$，那么交点为 $(x_1,n)$、 $(x_2,n)$。

• （2）不相交时
  在下图中我们绘制斜率分别为正、负的情况，且与矩形不相交的示意图，大概有8种情况下，矩形框的4个顶点均在某条直线的一侧。
  
  因此，我们判断直线是否与矩形相交，可以直接判定矩形框四个顶点 $(x_1,y_1),(x_2,y_1),(x_2,y_2),(x_1,y_2)$ 以顺时针带入直线方程函数 $f(x,y)=ax+by+c$ 的结果是否都同号即可。

• （3）相交时
  在下图中绘制了所有相交的情况，可以看到 在(2)基础上，直线与矩形框线段有交点时，矩形框2个顶点一定在直线的两侧，或者某个端点在直线上。
  
  我们顺时针将矩形框框四个顶点 $(x_1,y_1),(x_2,y_1),(x_2,y_2),(x_1,y_2)$ 带入直线方程函数 $f(x,y)=ax+by+c$ ，若相邻两个点符号不同（不同为正，不同为负；或 +、-、0的组合），认为是有交点的。

图像中矩形看过顶点已知，且边界线为水平线和垂直线，因此计算简单。
直线方程为 $y=kx+b$，矩形框边界的线按顺时针排列：水平线 $y=y_1$， 垂直线 $x=x_2$，水平线$y=y_2$, 垂直线 $x=x_1$。 后面计算过程，不做赘述。

2、图像中的情况

这里直线与矩形框的交点，我们考虑并非线段（若直线延长后与矩形框有交点，如果用两个点描述直线必须要求延长后与矩形框有交点），而是延长后的线段作为实际直线。

通常矩形框在画面中，例如下图中黑框灰色区域（宽度w）为画面区域，蓝色矩形框位于其中。绿色为线段，延长后与矩形框相交为棕色点。

2.1、常规处理

通常我们计算的逻辑，会考虑直线在画面中的多种情况，例如 垂直、水平，以及实际与画面无交集的无效直线等。
可以参考前述计算方式，这里不在赘叙。

2.2、opencv中的处理

我们直接以图像x方向左、右边界作为线段的延长线，得到两点(0, y0)和(w, y1)，之后使用cv::clipLine()计算交点。

2.2.1、cv::clipLine函数

先给出函数定义

bool clipLine(  // true if any part of line in imgRect
	cv::Rect imgRect,  // rectangle to clip to
	cv::Point& pt1,  // first endpoint of line overwritten
	cv::Point& pt2  // second endpoint of line, overwritten
);
bool clipLine(  // true if any part of line in image size
	cv::Size imgSize,  // size of image,implies rectangle at 0,0
	cv::Point& pt1,  // first endpoint of line,overwritten
	cv::Point& pt2  // second endpoint of line,overwritten
);

第一种函数的形式使用了cv::Rect，直线和这个矩形比较；第二个函数只有cv::Size，该形式表示矩形的范围是从（0,0）开始的。

只有当喜爱那段完全在指定的矩形范围之外时，函数cv::clipLine()才会返回false。

注意，端点是引用，当线段与矩形框相交时，函数返回true，并改写pt1和pt2.

2.2.2、测试代码

首先Mat创建一个800x800的画面区域， 之后创建一个 cv::Rect(100, 100, 400, 400) 区域。
我们流程如下：

1. 直线方程：通过2个点，使用cv::fitLine 拟合出直线的方程
2. 线段端点：之后以图像左、右边界，确定直线的两个端点
3. 求解交点： 使用 cv::clipLine 计算矩形区域与线段的交点

完整测试代码如下

   {
        cv::Mat img(800, 800, CV_8UC3, {255,255,255});

        cv::Rect rect(100, 100, 400, 400);

        cv::rectangle(img, rect, {0,0,0}, 3);

        // ---- 直线拟合 
        cv::Point temp[2] = {{100, 100}, {50,-100}};

        cv::Vec4f line_para;
        cv::fitLine(std::vector<cv::Point>{ temp[0], temp[1]/*{-40,-20},{810,830}*/}, line_para, cv::DIST_L2, 0, 1e-2, 1e-2);
        
        // ---- 直线端点
        cv::Point point0(line_para[2], line_para[3]);

        //计算直线的端点(y = k(x - x0) + y0)
        cv::Point point1, point2; 
        if(line_para[1] == 1 || line_para[1] == -1 ) {
            point1 = cv::Point(line_para[2],0);
            point2 = cv::Point(line_para[2], img.rows);
        }
        else {
            float k = line_para[1] / line_para[0];
            point1.x = 0;
            point1.y = k * (0 - point0.x) + point0.y;
            point2.x = img.cols;
            point2.y = k * (point2.x - point0.x) + point0.y;
        }

        cv::Point line1[] = {point1,point2};   
        cv::line(img, line1[0], line1[1], {255,0,0},2);

        // ----- 直线与矩形框交点
        if(cv::clipLine(rect, line1[0], line1[1])) {
            cv::circle(img, line1[0], 3, {0,0,255}, -1);
            cv::circle(img, line1[1], 3, {0,0,255}, -1);
        }


        // -- 绘制
        cv::circle(img, temp[0], 4, {0,255,0}, 2);
        cv::circle(img, temp[1], 4, {0,255,0}, 2);

        cv::imshow("1",img);
        cv::waitKey(0);

        return 0;
    }

2.2.3、测试结果

测试结果如下图。实测任何对与任何直线，以上代码都能适用。